アグニムのブルーボール統計
アグニムとの戦いは、ただの戦いではありません。神トラのRTAにおける、あらゆるカテゴリーでのギミックです。 主な理由は？完全にランダムだからです。運が良ければ非常に早く終わりますが、運が悪ければ丸々1分を失う可能性があり、 本当に運が悪ければ、2分近くかかることもあります！！
このページ全体は、私が2018年2月に作成したGoogleシートの改良版です。 このドキュメントを作成するには、多くの調査（特に神トラのRNGの仕組みについて）と数学的知識が必要で、 当初思っていたよりもはるかに複雑な数学モデルを発見しました。神トラのRTAコミュニティと共有するために、 Googleシートを英語で作成しましたが、このサイトへの移行を機に、日本語版を作成する時間をとりました。
仕組みは？
説明はシンプルですが、その背後にある数学はかなり複雑です。 アグニムはリンクに3種類の攻撃を仕掛けてきます：
- エナジーボール
- これらはリンクが剣や虫取り網で打ち返すことができる大きな黄色の玉です。 アグニムに6回打ち返せば戦闘は終了します。
- ブルーボール
- リンクが打ち返すことができない有名なブルーボールです。 障害物に当たると6つに分裂します。
- 稲妻
- アグニムは部屋の中央上部に移動し、目の前の部屋全体に広がる稲妻を放ちます。 他の攻撃とは異なり、この攻撃を放つ前にリンクの方を向かないため、この攻撃を繰り出すことを予測できます。
アグニムの攻撃パターンは循環的で、5つの攻撃から成り、戦闘場でのランダムな移動を挟みます （稲妻攻撃の場合を除き、常に中央上部に戻ります）。1サイクル内の5つの攻撃は以下の通りに分けられます：
- エナジーボールを放つ確率100%
- エナジーボールを放つ確率50% / ブルーボールを放つ確率50%
- エナジーボールを放つ確率50% / ブルーボールを放つ確率50%
- エナジーボールを放つ確率50% / ブルーボールを放つ確率50%
- 稲妻を放つ確率100%
このように、運が良ければアグニムはエナジーボールしか放たず、戦闘は短時間で終わります。 しかし、運が悪ければブルーボールを連発し、戦闘は長引きます。上級者にとっては、 3つ以上で終わりです。ちなみに、ブルーボール1つで約6秒のロスとなり、 アグニムが追加で稲妻を放った場合も、更に6秒のロスとなります。
また、神トラでは、この記事を書いている時点（2023年2月）で、RNGは依然として操作不可能で、 フレームごとに変化します。つまり、RNGを操作するためには、ゲーム開始から毎フレームの入力が確実である必要があります。 アグニムとの戦闘は、RTAの開始から27〜30分後に発生するため、人間には不可能ですね。
データ
表
| ブルーボールの数 | 確率 | 時間ロス（秒） | サイクルの数 | サイクル数の確率 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 6.25% | 0 | 2 サイクル | 34.375% |
| 1 | 12.5% | 6 | ||
| 2 | 15.625% | 12 | ||
| 3 | 31.25% | 24 | 3 サイクル | 56.640625% |
| 4 | 11.71875% | 30 | ||
| 5 | 8.203125% | 36 | ||
| 6 | 5.46875% | 42 | ||
| 7 | 7.03125% | 54 | 4 サイクル | 8.6669921875% |
| 8 | 0.87890625% | 60 | ||
| 9 | 0.48828125% | 66 | ||
| 10 | 0.2685546875% | 72 | ||
| 11 | 0.29296875% | 84 | 5 サイクル | 0.3143310546875% |
| 12 | 0.01220703125% | 90 | ||
| 13 | 0.006103515625% | 96 | ||
| 14 | 0.0030517578125% | 102 | ||
| 15 | 0.0030517578125% | 114 | 6 サイクル | 0.0030517578125% |
グラフ
計算してみよう！
上記のデータだけでは物足りませんか？ご自分で計算してみてください！ 以下の計算機を使って、X個以上のブルーボール、またはX個以下のブルーボールが出る確率をご自分で計算していただけます。
15個のブルーボール
上記のように、15個のブルーボールを出すのはごくわずかな確率です。 この0.003%は、戦闘開始時に15個のブルーボールを出す確率であり、 おおよそ33,333分の1のチャンスです。
この15個のブルーボールを記録したRTA走者は、ビデオクリップを録画しながら達成できた唯一の人物です。 しかも、なんと2回も達成。この非常に不運な走者はScreevo（親しい人にはstephen）と呼ばれており、 アグニムが彼を完全に打ち負かした2回のビデオクリップを以下に示します。
上記の表をしっかり見ると、14個のブルーボールを得る確率が15個のブルーボールを得る確率と同じであることに気づくでしょう。 これは正常なことで、その説明は以下のセクションで述べます。 同様に、今までは15個のブルーボールには達しなかったものの、14個で止まったプレイヤーの記録が1つだけ存在します。 不運の中の不運ですね！
オタク向け：その背後にある数学
アグニムのブルーボールの確率に関する理論は、その半スクリプト化されたパターンによって少し複雑になっています。 以下の段落では、その後で示す公式を導き出すために使用した方法を説明します。 言うまでもなく、これらの数学はRTA自体には全く無用です。 以下の公式や説明を理解しても、RNGが完全に作用するため（それにRNGは操作できないフレームカウンターに基づいているため）、 将来の戦闘が速くなることはありませんが、個人的にはここに書き記す価値が十分にあると考えています。
公式
戦闘がまだ始まっていない状況を考えます。\(n\)をブルーボールの数と定義すると、 以下の2つの公式が得られます。ここで\(\left \lfloor x \right \rfloor\)は\(x\)の整数部分であり、 \(\binom{n}{k}\)は二項係数「nからkを選ぶ」です。
n個のブルーボールが出る確率
$$p_{bb}(n) = \frac{\binom{n + 3 - \left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor}{n}}{2^{n + 4 - \left \lfloor \frac{n+1}{4} \right \rfloor}}$$
n個のブルーボールでロスする時間
$$t_{loss}(n) = 6 \left (n + \left \lfloor \frac{n+1}{4} \right \rfloor \right )$$
詳細な説明
この説明のために、アグニムのパターンのサイクルがどのようなものかをよく理解しておく必要があります。 それについては上記の段落で説明されています。戦闘はアグニムが6番目のエナジーボールを放ったときに終了します。 \(n\)個のブルーボールが出る確率は、1サイクルの攻撃2、3、4の50%の確率に依存します。 素朴に考えれば、戦闘で\(n\)個のブルーボールが出ることは、\(n\)が取りうる全ての値に対する\(1/2^n\)の合計だと仮定できます。
実際には、0と15の場合を除いて、この仮定はうまくいきません。 各サイクルの最初の攻撃は100%エナジーボールなので、この方法で計算すると、 アグニムが6番目のエナジーボールを放った後に発生するブルーボールも考慮した\(n\)個のブルーボールの分布が得られてしまいます。 しかし、その段階で戦闘は既に終了しているため、これは不可能です。したがって、計算にはこの点を考慮に入れる必要があります。
私の計算方法は非常にシンプルです。しかし、まず、必ず出てくるエナジーボールを含め、 全ての攻撃を数字で表してみましょう。稲妻は計算に影響を与えないので（時間ロスにのみ影響）、 説明を簡単にするために存在しないものとします。
| サイクル1 | サイクル2 | サイクル3 | サイクル4 | サイクル5 | サイクル6 | |||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| X | X | X | X | X | X | |||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
まず、0、1、2、3個のブルーボールの場合に何が起こるかを見て、一般化を試みましょう。
ブルーボール0個の場合
ブルーボール0個の場合、非常にシンプルです。戦闘は攻撃6で終了します。実際、 放たれるボールは全てエナジーボールであり、アグニムを倒すには6個必要です。したがって、 これに到達する方法は1つしかありません。つまり、番号2、3、4、6の攻撃は必ずエナジーボールである必要があります。 この確率は\(1/2^4\)であり、\(1/16=6.25\%\)の確率で発生します。
ブルーボール1個の場合
ブルーボール1個の場合、戦闘は必ず攻撃7で終了します。攻撃6で終了することはできません。 なぜならそれはブルーボール0個の場合だからです。また、攻撃8で終了するには7個のエナジーボールが必要となり、 それも不可能です。問題は、どの攻撃がブルーボールになるかということです。
もう一つ言及できるのは、戦闘は必ず攻撃7で終了するため、 この最後の攻撃は必ずエナジーボールであるということです （アグニムはブルーボールでダメージを受けないので、ブルーボールで終了することはありません）。 この点により、攻撃7がブルーボールである可能性が排除され、 攻撃2、3、4、6が潜在的なブルーボールとなります。
それらのうち1つだけがブルーボールである確率は\(1/2^4\)です。しかし、 攻撃7もエナジーボールである確率が2分の1であること、そしてそれが実際にそうであることを忘れてはなりません。 したがって、私たちが求めているのは、攻撃2、3、4、6のうち1つだけがブルーボールである確率であり、 ただし攻撃7はエナジーボールであると仮定すると、これは\(1/2^5\)となります。最後に、 これら全ての可能性（ブルーボールが攻撃2、攻撃3、攻撃4、攻撃6のいずれかである場合）を合計すると、 \(4/2^5=4/32=1/8=12.5\%\)となります。
ブルーボール2個の場合
ブルーボールが2個の場合、完全な説明は繰り返しませんが、 前の段落を読んだ方は、戦闘が攻撃8で終了し、この攻撃8が必ずエナジーボールであると理解しているでしょう。 したがって、私たちは集合\(\{2,3,4,6,7\}\)の中から2つの場所を選ぶ必要があり、それが私たちの2個のブルーボールになります。
上記の集合は5つの要素からなり、その中から2つを選択する必要があります。ここで二項係数が登場します！ 二項係数「nからkを選ぶ」を\(\binom{n}{k}\)と書くと、 2つのブルーボールに対して\(\binom{5}{2}\)通りの可能性があります。この情報を、 攻撃8が必ずエナジーボールであるという前提で、 集合\(\{2,3,4,6,7\}\)内で2つのブルーボールを持つ各可能性の確率と組み合わせると、 次の結果が得られます：2つのブルーボールに対して\(\binom{5}{2}/2^6=10/64=15.625\%\)。
ブルーボール3個の場合
ブルーボールが3個の場合、戦闘は攻撃9で終了します。しかし、ここで計算が変わります。 1個と2個のブルーボールの場合とは異なり、攻撃9は100%エナジーボールであるからです（上記の表参照）。 それでも、集合\(\{2,3,4,6,7,8\}\)の中からブルーボールの3つの場所を選ぶ必要があり、これは\(\binom{6}{3}\)に相当します。 しかし、この係数を掛ける確率は\(1/2^6\)のままであり、 攻撃9が100%エナジーボールであるためです（技術的にはこれも「攻撃9がエナジーボールであると仮定した」確率ですが、 今回はその確率が1です）。したがって、戦闘で3個のブルーボールを得る確率は\(\binom{6}{3}/2^6=20/64=31.35\%\)となります。
一般化
この一連の例をブルーボール4個で締めくくりましょう。この場合、戦闘は攻撃10で終了し、 それはエナジーボールであることを意味します。しかし、攻撃9もエナジーボールであるため、 以前と同じ集合、つまり\(\{2,3,4,6,7,8\}\)の中から4つの場所を選ぶことになります。確率の2のべき乗は増加し （したがって\(1/2^7\)になります）、攻撃10もブルーボールである確率が50%だったためですが、 二項係数では下側の数字のみが増加し、\(\binom{6}{4}\)となります。
これら全てから、15個までの各ブルーボールの数に対するプロセスを一般化できます （走者が打ち返すエナジーボールを一つもミスしないと仮定しますが、いずれにせよそのようなことは起こるはずがありませんよね？ 😇）。 計算は4つのブルーボールごとに同じですが、100%エナジーボールである新しい攻撃のために、 新しいサイクルごとに変化します。
そして、これによって上記の公式を導き出すことができました。ちなみに、 整数部分の使用は、新しいサイクルごとに確率を調整するためにあります。そうでなければ、 5つの異なる式が得られ、それぞれが異なるサイクル数に対応することになります。